Probabilidad y estadistica

Probabilidad y Estadística

PERMUTACIONES

En matemáticas, llamamos permutación de un conjunto a cada una de las posibles ordenaciones de todos los elementos de dicho conjunto.

Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".

Ejercicios

_{Obtén
el número de permutaciones de 2 cerdos de 4.}

P (4, 2)

₄P₂ = 4! = 4! = 12

(4-2)! 2!

_{Obtén el número de permutaciones de 5
caballos de 8.}

P (8,5)

₈P₅ = 8! = 8! = 6,720

(8-5)! 3!

_{Obtén el número de permutaciones de 3cerdos de 15.}

P (15, 3)

₁₅P₃ = 15! = 15! = 2,730

(15-3)! 12!

_{Obtén el número de permutaciones de 8 libros tomados de 4 .}

_{P (8,4)}

₈P₄ = 8! = 8! = 1,680

(8-4)! 4!

¿De cuantas formas pueden colocarse 7 garrafones en un estante de tal manera que 2 de ellos estén siempre juntos?

P (7,2)

₇P₂ = 7! = 7! = 42

(7-2)! 5!

Obtén el número de permutaciones de las letras de la palabra ISSSTE.

P (6,6)

₆P₆ = 6! = 720

Obtener el número de permutaciones de 20 maestros tomados de 6 en 6.

P (20,6)

₂₀P₆ = 20! = 20! = 27,907,200

(20-6)! 14!

De cuantas maneras pueden sentarse 15 alumnos en un salón de clases que tienen20 bancos individuales.

P (20,5)

₂₀P₅ = 20! = 20! = 1,860,480

(20-5)! 15!

Una cadena de tiendas de muebles tiene 3 almacenes y 20 sucursales de venta al menudeo, ¿de cuantas maneras diferentes pueden embarcarse un artículo de los almacenes a una de las sucursales de menudeo.

P (20,3)

₂₀P₃ = 20! = 20! = 6,840

(20-3)! 17!

Si en una carrera participan 9 caballos, ¿ de cuantas maneras distintas pueden terminar en primero, segundo y tercer lugar?

P (9,3)

₉P₃ = 9! = 9! = 504

(9-3)! 6!

Combinaciones

Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. La notación para las combinaciones es C(n,r) que es la cantidad de combinaciones de “n” elementos seleccionados, “r” a la vez. Es igual a la cantidad de permutaciones de “n” elementos tomados “r” a la vez dividido por “r” factorial. Esto sería P(n,r)/r! en notación matemática.

Ejemplo: Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuántas combinaciones de cinco cartas habría?

La cantidad de combinaciones posibles sería: P(9,5)/5! = (9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.

Ejemplos:

_{Obtén el número de combinaciones de 2 de 4 mochilas.}

C (4,2)

₄ C₂ = 4! = 4! = 6

2! (4-2)! 2! (6)!

_{Obtén el número de combinaciones de 4 de 10 camisas.}

C (10,4)

₁₀C₄ = 10! = 10! = 210

4! (10-4)! 4! (6)!

_{Obtén el número de combinaciones de 3 de 12 libretas.}

C (12,3)

₁₂C₃ = 12! = 12! = 220

3! (12-3)! 3! (9)!

¿Cuántos grupos de 5 alumnos se pueden formar con 20 alumnos sobresalientes de una preparación para que la representen en un curso?

C (20,5)

₂₀C₅ = 20! = 20! = 15,504

5! (20-5)! 5! (15)!

¿De cuantas maneras se pueden elegir 3 idiomas de entre 10?

C (10,3)

₁₀C₃ = 10! = 10! = 120

3! (10-3)! 3! (7)!

¿De cuantas maneras puede un alumno escoger 6 preguntas de entre 10?

C (10,6)

₁₀C₆ = 10! = 10! = 210

6! (10-6)! 6! (4)!

Si se tienen 5 putos sobre una circunferencia , ¿Cuántas cuerdas se pueden formar?

C (5,2)

₅C₂ = 5! = 5! = 10

2! (5-2)! 2! (3)!

Una librería tiene una venta en que un cliente obtiene precio especial si compra 8 de los 12 iphone actuales , ¿de cuantas maneras un cliente puede hacer tal sección?

C (12,8)

₁₂C₈ = 12! = 12! = 495

8! (12-8)! 8! (4)!

La tienda de regalos de un centro turístico tiene 15 postales distintas ,

¿De cuantas maneras puede seleccionar una persona 4 de estas postales?

C (15,4)

₁₅C₄ = 15! = 15! = 1,365

4! (15-4)! 4! (11)!

Distribución binomial

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Su función de probabilidad es

$\!f(x)={n \choose x}p^x(1-p)^{n-x} \,\!$

donde $x = \{0, 1, 2, \dots , n\},$

siendo $\!{n \choose x} = \frac{n!}{x!(n-x)!} \,\!$ las combinaciones de $n \,\!$ en $x \,\!$ ( $n \,\!$ elementos tomados de $x \,\!$ en $x \,\!$ )

Ejercicios:

Si la probabilidad de que una persona que viaja por cierta aerolínea pague una cifra adicional para ver una película es 0.65, ¿Cuál es la probabilidad de que solo 3 de 6 personas que viajan por esta aerolínea paguen una tarifa adicional para ver una película?

Tarifa adicional = 0.65 n= 6

3 de 6 persona que pagan x=3

p(3) =

(0.65)³ (1-0.65)^6-3 = 0.2354

x	p(x)	xp(x)
0	0.0018	0
1	0.020	0.020
2	0.095	0.19
3	0.235	0.705
4	0.328	1.312
5	0.243	1.215
6	0.075	0.45
	0.99	3.892

Si el 40% de los ratones que se usan en una prueba se tornaran muy agresivos un minuto después de habérseles administrado un medicamento experimental, obtenga la probabilidad de que exactamente cuatro de 10 ratones a los que se les administro el medicamento se tornen muy agresivos un minuto después.

Si el 40% son agresivos, probabilidad de que 4 de 10 lo sean.

x=4 n= 10

p(4) =

(0.40)⁴ (1-0.60)^10-4 = 0.2508

x	p(x)	xp(x)
0	0.006	0
1	0.040	0.040
2	0.120	0.24
3	0.214	0.642
4	0.250	1
5	0.2	1
6	0.111	0.666
7	0.042	0.294
8	0.010	0.080
9	0.001	0.009
10	0.0001	0.001
	0.99	3.972

Si es verdad que se pueden prevenir el 80% de todos los accidentes industriales prestando estrictamente atención a las normas de seguridad, obtenga la probabilidad de que se puedan prevenir , por tanto, 4 de 7 accidentes.

n= 7 x=4

p (4) =

(0.80)⁴ (1-0.80)^7-4 = 0.1146

x	p(x)	xp(x)
0	0.00001	0
1	0.0003	0.0003
2	0.004	0.008
3	0.028	0.084
4	0.114	0.456
5	0.275	1.375
6	0.367	2.202
7	0.209	1.463
	1	5.5883

Suponga que un examen del servicio está diseñado para que el 70 % de todas las personas con un IQ de 90 pueda aprobarla. a) lo aprueben a lo sumo 6, b)lo parueben como minimo 12, c)lo parueben 8 de 12

El 70 % de las personas tienen un IQ de 90

Probabilidad de entre 15 personas con IQ de 90

n=15 x=?

p (x) =

(0.70)^x (1-0.70)^{15- x}

x	p(x)	xp(x)
0	0.0000001	0
1	0.00005	0
2	0.0008	0.00001
3	0.00008	0.0002
4	0.0005	0.0102
5	0.002	0.01
6	0.011	0.066
7	0.034	0.238
8	0.081	0.648
9	0.147	1.323
10	0.206	2.06
11	0.218	2.398
12	0.170	2.04
13	0.090	1.183
14	0.030	0.42
15	0.004	0.06
	1	10.445

a) A lo sumo 6

P=0.00000001+0.0000005+0.000008+0.00008+0.0005+0.002+0.11

=0.0135

b) Como mínimo

P=0.170+0.091+0.030+0.004=0.295

c) Lo aprueben 8 de 12

P = 0.08+0.147+0.206+0.216+0.171 = 0.822

Una cooperativa agrícola sostiene que 95%de las sandias embarcadas están maduras y listas para comerse .Obtén las probabilidades de que entre 8 sandias embarcadas a)las ocho estén maduras y listas para comerse, b) como mínimo 6 estén maduras y listas para comerse, c) como máximo 4 estén maduras y listas para comerse.

n=8 p=0.95 q=0.05

p (x) =

(0.95)^x (1-0.95)^{8- x}

x	p(x)	xp(x)
0	0.0000003	0
1	0.0000005	0.0000005
2	0.0000003	0.0000006
3	0.00001	0.0000003
4	0.0003	0.0012
5	0.005	0.025
6	0.051	0.300
7	0.279	1.953
8	0.663	5.304
	0.99	7.589

a) Las estén maduras = 0.663

b) 6 esten maduras = 0.051

c) 4 esten maduras = 0.0003

Una distribuidora de alimentos afirma que 80% de sus latas de 6 onzas de nueces surtidas contienen como mínimo 3 pacanas. Para verificar esto, un servicio de pruebas de consumo decide examinar 8 de estas latas de 6 onzas surtidas de un lote de producción muy grande y rechaza la aseveraciones menos de 6 de las latas contienen a lo sumo 3 pacanas. Obtenga las probabilidades de que el servicio de pruebas cometa el erro de a) rechazar las aseveraciones aunque sea verdadera, b)no rechazar la aseveraciones cuando en realidad solo el 60% de las latas de nueces surtidas contienen como mínimo 3 pacanas .

P=0.80 n=8 q=0.20 x=6

a) Rechazar las aseveraciones aunque sea verdadero

p (6) =

(0.80)⁶ (1-0.80)^8-6 = 0.2936

b) No rechazar la aseveración =1 - 0.2936 = 0.7064

x	p(x)	xp(x)
0	0.0000002	0
1	0.00008	0.00008
2	0.001	0.002
3	0.009	.027
4	0.045	0.18
5	0.146	0.73
6	0.293	1.758
7	0.335	2.345
8	0.167	1.336
	0.99	6.378

Una florista necesita 12 arreglos dentro de 6 meses. Se sabe la probabilidad de tener un arreglo es de 0.70. se desea el numero mínimo de arreglos que debería tener si quiere la probabilidad se de por lo menos 0.90 de tener 12 arreglos. a) Obtén la probabilidad de que si pide 15 obtenga 12 . b) obtén la probabilidad de que si pide 20 obtenga 12, c) obtén la probabilidad de que si pide 30 obtenga 12.

0.70 es la probabilidad de tener 12 arreglos

Cantidad mínima que debe planta 0.90

a) Si pide 15 y obtenga como mínimo 12 arreglos.

p (12) =

(0.70)¹² (1-0.70)^15-12 = 0.170

b) Si pide 20 y obtenga como mínimo 12 arreglos.

p (12) =

(0.70)¹² (1-0.70)^20-12 = 0.0.114

c) Si pide 30 y obtenga como mínimo 12 arreglos.

p (12) =

(0.70)¹² (1-0.70)^30-12 = 0.0.00046

Un vendedor y un comprador acordaron utilizar un plan de muestreo con tamaño de muestra de 20 y numero de aceptación de 1.¿cial es la probabilidad de que el comprador rechace un lote que contenga las siguientes fracciones de defectos? a) P=0.1 , b)P=0.2 , c)P=0.3

a) p (1) =

(0.1)⁶ (1-0.1)^20-1 = 0.2701

b) p (1) =

(0.2)⁶ (1-0.2)^20-1 = 0.0.0576

c) p (1) =

(0.3)⁶ (1-0.3)^20-1 = 6.83 * 10^-03

Supóngase que un comprador utilizo un plan de muestreo con un tamaño de n=5 .ya que la muestra es muy pequeña , no se aceptara ningún lote a menos que no contenga partes defectuosas. Es decir , el numero de aceptación es 0. Calcule la probabilidad de qye acepte un lote si contiene: a) 4% de partes defectuosas, b) 5% de partes defectuosas.

a) p (0) =

(0.04)⁰ (1-0.0.04)^5-0 = 0.8153

b) p (0) =

(0.05)⁰ (1-0.0.05)^5-0 = 0.7737

Un comprador utiliza un plan de muestreo . Si en un amuestra de 25 unidades se selecciona de cualquier lote 3 i mas partes defectuosas, devolverá el lote al proveedor. Obténgase. a) el riesgo del productor para p=0.2, b) el riesgo del productor para p = 0.3

a) p (3) =

(0.2)³ (1-0.2)^25-3 = 0.1357

b) p (3) =

(0.2)³ (1-0.2)^25-3 = 0.1357

Distribución normal

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana.La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.

De hecho, la estadística es un modelo matemático que sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacionar. La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.

$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}, \, \quad x\in\mathbb{R},$

Z =

unidades estándar

Ejercicios

Para cada uno de los casos siguientes, que comprenden áreas bajo la curva normal estándar, decida si la primera área es más grande, la segunda área es más grande, o si las 2 áreas son iguales.

a) El area a la derecha de z=1.5 o el area a la derecha de z=2

http://img525.imageshack.us/img525/7928/fegaussek1.jpg

Cuadro de texto: Area = 0.5000 – 0.4332
=0.0668

0.0668 > 0.0228

Z 0.00

1.5 0.43

Cuadro de texto: Area = 0.5000 – 0.4772
=0.0228

0.00

2.0 0.4772

El area a la izquierda de z=-1.5 o el area a la izquierda de z=-2

z 0.0

-1.5 0.4332

Cuadro de texto: Area = 0.5000 – 0.4772 = 0.0668
0.0668 > 0.0228

Z 0.0

-2 0.4772

c) El area a la derecha de z=1 o a la izquierda de z=-1.5

Z	0.00
1	0.3413

z	0.00
-1.5	0.4332

d) El área a la derecha de z=2 o a la izquierda de z=-2

z	0.00
2	0.4772

Z	0.00
-2	0.4772

e) El área a la derecha de z=-2.5 a la derecha de z=-1.5

z	0.00
-2.5	0.4938

z	0.00
-1.5	0.4332

f) El area a la izquierda de z=0 o el area de z=-0.1

Z	0.00
0	0.0000

Z	0.00
-0.1	0.0398

SI TIENEN ALGUNAS DUDAS PUEDEN DESCARGAR EL ARCHIVO COMPLETO DESDE LAS SIGUIENTE DIRECCION : https://skydrive.live.com/?cid=80a593022eaab5c8#cid=80A593022EAAB5C8&id=80A593022EAAB5C8%211122

Probabilidad y estadistica

domingo, 1 de julio de 2012

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